Senin, 12 Desember 2011

pengertian trigonometri

Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Hubungan fungsi trigonometri

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\,$

$\sec A = \frac{1}{\cos A}\,$

Sinus

Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

Nilai sinus sudut istimewa

$\sin 0^o = 0\,$

$\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 30^o = \frac{1}{2}\,$

$\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,$

$\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 90^o = 1\,$

Kosinus

Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

$\cos A = {\mbox{b} \over \mbox{c}} \qquad \cos B = {\mbox{a} \over \mbox{c}}$

Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Tangen

Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o).

Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di kanan), berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah

$\tan A = {\mbox{a} \over \mbox{b}} \qquad \tan B = {\mbox{b} \over \mbox{a}}$

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Sekan

Sekan (lambang: sec; bahasa Inggris: secant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah

$\sec A = {\mbox{c} \over \mbox{b}} \qquad \sec B = {\mbox{c} \over \mbox{a}}$

Hubungan sekan dengan kosinus:

$\sec A = \frac{1}{\cos A}\,$

Kosekan

Kosekan (disimbolkan dengan cosec atau csc; bahasa Inggris: cosecant) dalam matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di atas maka nilai kosekan adalah

$\csc A = {\mbox{c} \over \mbox{a}} \qquad \csc B = {\mbox{c} \over \mbox{b}}$

Hubungan kosekan dengan sinus:

Kotangen

Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan; bahasa Inggris: cotangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah

$\cot A = {\mbox{b} \over \mbox{a}} \qquad \cot B = {\mbox{a} \over \mbox{b}}$

Hubungan kotangen dengan tangen:

$\cot A = \frac{1}{\tan A}\,$

Sabtu, 03 Desember 2011

PENGERTIAN LINGKARAN (MATEMATIKA XI IPA)

Lingkaran

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
  merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
  merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
  merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
3. Busur (B)
  merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
  merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
  merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
  merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
  merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3. Cakram (C)
  merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!$

dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

$x^2 + y^2 = R^2 \!$

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

$x^2 + Ax + y^2 + By + C = 0 \!$

dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

$x = x_0 + R \cos(t) \!$
$y = y_0 + R \sin(t) \!$

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

$A = \pi R^2 \!$

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

$dA = rd\theta\ dr$

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

$A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $R_1\!$ dan jari-jari luar $R_2\!$ , yaitu

$A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!$

di mana untuk $R_1 = 0\!$ rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

$A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!$

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

$L = 2\pi R\!$

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$L = R \theta \!$

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

$dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!$

di mana digunakan

$y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!$

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

π(Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

$\pi = \frac K D$

penjelasan peluang

PELUANG BAB II (MATEMATIKA IPA)

Permutasi dan Kombinasi (PELUANG-MATEMATIKA)

PERMUTASI

Coba perhatikan contoh-contoh di bawah untuk memahami Permutasi dalam konsep Peluang pada pelajaran Matematika.

Contoh I:

{a,b,c}

Jika dipilih 2 dari 3 unsur tersebut, maka banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Ditulis 3P2 = 6.

Contoh II:

{a,b,c}

maka, banyaknya permutasi dari 3 unusr setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Ditulis 3P3 = 6

RUMUS

Catatan: Notasi Faktorial

3! = 3x2x1

5! = 5x4x3x2x1

1! = 1

Def 0! = 1

Permutasi Siklis

{a,b,c} Maka, jika menggunakan permutasi siklis, hasil dari pengambilan 3 unsur dari 3 unsur dapat digambarkan seperti gambar di samping.

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!

KOMBINASI

Contoh III:

{a,b,c}, pengambilan 2 unsur dari 3 unsur.

menggunakan kombinasi maka akan diperoleh hasil kombinasinya ab, bc, ca.

Ditulis 3C2.

RUMUS

PERBEDAAN KOMBINASI DAN PERMUTASI

Salah satu perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi adalah jika Permutasi maka perbedaan urutan menjadikan perbedaan makna, sementara di Kombinasi perbedaan urutan tidak akan menjadikan perbedaan makna. Contoh: {a,b,c} pengambilan 2 unsur dari 3 unsur jika menggunakan permutasi maka akan diperoleh hasil ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Tetapi jika menggunakan kombinasi hasil yang diperoleh adalah ab, ca, bc.

Contoh lain permutasi:

ada nomor kendaraan di Indonesia yaitu AB (Jogjakarta dan sekitarnya), tetapi apabila dibalik maka menjadi BA (Padang), maka terlihat perbedaan maknanya.

Contoh lain kombinasi:

Ada dua titik A dan B, dihubungkan oleh satu garis.

Maka garis AB = BA, yang berarti tidak menyebabkan perbedaan makna.

Peluang suatu kejadian (MATEMATIKA - XI IPA)

ISTILAH-ISTILAH DALAM PELUANG

Ruang Sampel

Adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampelnya adalah S={1,2,3,4,5,6}

Kejadian

Adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Contoh: Kejadian munculnya mata ganjil pada pelemparan sebuah dadu, A={1,3,5}

Peluang

Peluang suatu kejadian A didefinisikan

N(A) = Banyaknya anggota himpunan A

N(S) = Banyaknya anggota himpunan S

Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan prima!

Jawab:

S={1,2,3,4,5,6} N(S)=6

A={2,3,5} N(A)=3

Maka,

P(A)=N(A)/N(S)

= 3/6

***

Nilai suatu peluang paling besar adalah 1 dan paling kecil adalah 0. Suatu kejadian yang pasti terjadi peluangnya adalah 1, sedangkan suatu kejadia yang tidak mungkin terjadi peluangnya adalah 0.

PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN

Jika peluang suatu kejadian A adalah P(A), maka peluang kejadian bukan A adalah P(A') = 1 - P(A).

Contoh: Jika peluang hari ini akan turun hujan adalah 1/3, maka peluang hari ini tidak hujan adalah?

Jawab: 1-1/3=2/3.

Jumat, 25 November 2011

statistika(lenny)

PENGERTIAN STATISTIKA

STATISTIKA DASAR

Definisi

Statistik Dasar adalah statistik yang pemanfaatannya ditujukan untuk keperluan yang bersifat luas, baik pemerintah maupun masyarakat, yang memiliki ciri-ciri lintas sektoral, berskala nasional maupun regional, makro, dan yang penyelenggaraannya menjadi tanggung jawab BPS.

Sensus adalah cara pengumpulan data yang dilakukan melalui pencacahan semua unit populasi di seluruh wilayah Republik Indonesia untuk memperoleh karakteristik populasi pada saat tertentu.

Survei adalah cara pengumpulan data yang dilakukan melalui pencacahan sampel untuk memperkirakan karakteristik suatu populasi pada saat tertentu.

Kompilasi Produk Administrasi adalah cara pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data yang didasarkan pada catatan administrasi yang ada pada pemerintah dan atau masyarakat

Cakupan

Statistik dasar mencakup statistik bidang ekonomi, bidang kesejahteraan rakyat, dan bidang-bidang lainnya yang jenis dan ragamnya telah dan akan dikembangkan oleh BPS.

Statistik bidang ekonomi mencakup statistik pertanian, statistik industri, statistik perdagangan dan jasa, statistik keuangan dan harga, serta statistik lintas sektor.

Statistik bidang lainnya akan ditetapkan sesuai dengan perkembangan pembangunan dan perikehidupan masyarakat.

Penyelenggaraan Statistik

Statistik dasar diperoleh melalui pengumpulan data dengan cara sensus, survei, kompilasi produk administrasi, dan cara lain sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Statistik dasar dapat dilakukan secara berkala, terus menerus, dan atau sewaktu-waktu yang periode pelaksanaannya ditetapkan oleh Kepala BPS dengan memperhatikan kebutuhan data baik dari pemerintah maupun masyarakat.

Dalam penyelengaraan statistik dasar sejauh mungkin Kepala BPS juga tetap diberitahukan.

Pengelolaan statistik dasar dapat dilakukan secara sentralisasi, desentralisasi, dekonsentrasi atau kombinasi dengan memperhatikan tingkat kecepatan dan kualitas data yang dihasilkan.

Pemanfaatan dan Penyebarluasan

Hasil statistik dasar diumumkan dalam berita resmi statistik (BRS) atau media lainnya yang tersedia dengan maksud agar data yang dihasilkan dapat dimanfaatkan secara optimal oleh pengguna data baik instansi pemerintah maupun masyarakat luas.

Hasil statistik dasar terbuka pemanfaatannya untuk umum, kecuali ditentukan lain oleh peraturan perundang-undangan yang berlaku.

BPS menyebarluaskan hasil kegiatan statistik dasar melalui berbagai bentuk media seperti media cetak, media elektronik, dan atau media lainnya yang sesuai dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

BPS Propinsi dan BPS Kabupaten/Kotamadya menyajikan statistik dasar secara regional untuk memenuhi kebutuhan daerah yang bersangkutan.

Koordinasi dan Masukan

Dalam rangka meningkatkan dayaguna dan hasilguna yang maksimal, maka dalam penyelenggaraan statistik dasar kepala BPS selalu mengadakan koordinasi, integrasi, sinkronisasi, dan standarisasi demi terwujudnya Sistem Statistik Nasional.

STATISTIKA

Pengertian.

Statistika adalah cabang ilmu yang mempelajari tentang bagaimana mengumpulkan, menganalisis dan menginterpretasikan data. Atau dengan kata lain, statistika menjadi semacam alat dalam melakukan suatu riset empiris.

Dalam menganalisis data, para ilmuwan menggambarkan persepsinya tentang suatu fenomena. Deskripsi yang sudah stabil tentang suatu fenomena seringkali mampu menjelaskan suatu teori. (Walaupun demikian, orang dapat saja berargumentasi bahwa ilmu biasanya menggambarkan bagaimana sesuatu itu terjadi, bukannya mengapa). Penemuan teori baru merupakan suatu proses kreatif yang didapat dengan cara mereka ulang informasi pada teori yang telah ada atau mengesktrak informasi yang diperoleh dari dunia nyata. Pendekatan awal yang umumnya digunakan untuk menjelaskan suatu fenomena adalah statistika deskriptif.

Statistika deskriptif

adalah teknik yang digunakan untuk menganalisa data dan menampilkannya dalam bentuk yang dapat dimengerti oleh setiap orang. Tetapi ada kalanya dalam bidang ini, pekerjaan empiris dilaksananakan berdasarkan percobaan-percobaan atau survey sampel. Pada kasus lainnya, seluruh populasi tidak dapat diobservasi-karena berbagai alasan ekonomis ataupun praktis. Mengambil kesimpulan tentang suatu populasi berdasarkan data dari sampel yang terbatas merupakan tujuan dari suatu proses pengambilan keputusan inferensial atau statistik induktif.

Penggunaan statistika dalam suatu penelitian sering melibatkan langkah-langkah berikut:

Merancang penelitian: perkembangan sasaran, terjemahan konsep teoritis menjadi fenomena yang dapat diobservasi (sebagai contoh, variabel-variabel), setting lingkungan (misalnya, dalam menentukan parameter mana yang konstan dilaksanakan) proyeksi biaya dan sebagainya.
Pengambilan data
1. Data primer: data yang dikumpulkan oleh institusi yang melaksanakan penelitian

Survey:
- menyimpan data tanpa menguji kontrol melalui kondisi lingkunganyang bisa jadi mempengaruhi observasi-observasi.
- Mengobservasi seluruh anggota populasi (sensus) atau mengambil sampel (sample survey)
- Mengumpulkan data dengan wawancara atau dengan pengukuran
- Dokumentasi data melalui daftar pertanyaan, protokol dan lain sebagainya.
- Pribadi berhadapan dengan observasi tak langsung (misalnyawawancara pribadi, pemberian daftar pertanyaan melalui pos, telepon dan lain-lain)
Eksperimen atau percobaan: mengontrol variabel-variabel secara aktif untuk mendapatkan pengaruhnya pada variabel-variabel lainnya.
Penyimpanan otomatis: mengobservasi atau mengamati data ketika sedang dibangkitkan, misalnya dalam suatu proses produksi.

Data Sekunder: menggunakan data yang sudah tersedia, baik dari sumber internal ataupun eksternal.

3. Mengatur data

4. Analisa: mengaplikasikan alat-alat atau metode statistika.

5. Interpretasi: kesimpulan mana yang mendukung informasi kuantitatif yang dibangkitkan dengan prosedur statistik?

PERBEDAAN STATISTIK DAN STATISTIKA

Statistik
merupakan kumpulan dari data – data yang sering dinyatakan atau disajikan dalam bentuk daftar/ tabel, diagram garis, diagram batang, diagram lingkaran, histogram, polygon frekuensi dan ogive yang mengambarkan suatu persoalan tertentu.

contoh:

1. Statistik dalam bentuk tabel.

2. Statistik dalam bentuk diagram lingkaran

3. Statistik dalam bentuk diagram garis

4. Statistik dalam bentuk diagram batang

Statistik juga digunakan untuk menyatakan ukuran sebagai wakil / gambaran dari sekumpulan data mengenai sesuatu hal.

Contoh:

1. 40% siswa nilai matematikanya kurang dari 70.

Keterangan diatas nilai 40% itulah yang dinamakan statistik.

2. Rata – rata nilai kognitif pada raport Nur Hidayati adalah 83,17.

Keterangan diatas nilai 83,17 itulah yang dinamakan statistik.

3. Kasus psikotropika pada tahun 2006 adalah 5658 kasus berdasarkan laporan BNN RI.

Dalam hal ini statistik merupakan hasil pengamatan / penelitian, dalam pelaporannya sering diperlukan penjelasan, uraian atau kesimpulan tentang persoalan yang diamati atau diteliti. Dalam menentukan / pengambilan kesimpulan tentunya diperlukan pengumpulan keterangan atau data, mempelajari data, menganalisa dengan berdasarkan cara pengolahan data yang benar baru bisa diambil suatu kesimpulan yang benar dan bisa dilaporkan / dipaparkan dalam bentuk statistik yang sesuai. Proses inilah yang dinamakan dengan statistika. Kesimpulannya Statistika bisa diartikan sebagai ilmu yang mempelajari / mendasari tentang bagaimana pengumpulan data, pengolahan data, penganalisaan data sampai dengan penarikan kesimpulan yang benar.

Diagram Batang

Diagram Batang sangat cocok untuk data kategori atau atribut dan datanya tidak dalam bentuk prosentase. Kegunaan diagram batang untuk memudahkan pembacaan besar data dari suatu kategori